Voltei. Finalmente vamos falar de corpos.

Sim, corpos. Ou campos, depende de que língua você aprendeu matemática.

Mas afinal, o que eu quero dizer com corpos na matemática?

Como sempre, vamos começar com a definição.

DEFINIÇÃO

Definição: Chama-se corpo um anel comutativo com unidade.

 

Bom, eu dei uma definição e ela não é, em nada, mentirosa, talvez incompleta, mas não mentirosa. Contudo, o que isso significa?

Para responder isso eu preciso que vocês saibam a definição de um anel então vou pedir para que leiam o quarto texto dessa série. Nele, eu dou a definição de anel e destrincho um exemplo (acho um ótimo texto de revisão).

Claro, de forma curta podemos definir um anel como um conjunto munido de duas operações (A,+,*) tal que (A,+) seja um grupo abeliano e que a operação (*) seja associativa distributiva sobre +.

 

COMUTATIVIDADE PARA QUEM?

Sabendo o que é um anel, vamos entender então o que é um anel comutativo com unidade.

Já sabemos que comutatividade é sobre não importar a ordem com que se opera. Diz-se coisas como “A ordem dos fatores não altera o produto”. Quando falamos que um anel é comutativo queremos dizer que a segunda operação, que eu denotei aqui por *, é comutativa. Afinal, na definição de anel, já dizemos que a operação de + é comutativa quando pedimos que (A,+) seja um grupo abeliano.

Além disso, também falamos que comutativo com unidade. Isso significa que, além da ordem não importar, a operação * admite inversos para todos elementos desse anel, menos para o elemento neutro da operação +, ou seja, não temos divisores de 0.

Ou seja, para elemento de (A, +, *) existe outro elemento que quando operado por meio de * a ele terá, como resultado, o elemento neutro de *, geralmente denotado por 1.

 

DISSECANDO A DEFINIÇÃO

Agora a gente já sabe, de forma curta e direta, o que é um corpo. Contudo, creio que, se vocês forem pesquisar o que é um corpo num livro de análise ou álgebra, vocês devem encontrar algo como “9 axiomas de um corpo”. Eu lembro que foi assim que eu aprendi quando fiz introdução à análise. Esses 9 axiomas estão contidos dentro da definição que eu dei na seção anterior. Obviamente, eu vou expor que axiomas são esses e mostrar como eles são, exatamente, a definição que eu dei na seção anterior.

(Um breve parêntese aqui: axioma é uma proposição que não pode ser questionada. Quando eu falo “9 axiomas de um corpo” eu quero dizer que têm nove propriedades que um conjunto tem que ter para ser chamado de corpo e isso não pode ser flexibilizado. Se um conjunto deixar de obedecer a qualquer uma dessas propriedades (ou axiomas), então esse conjunto não pode ser chamado de corpo.)

Se um conjunto A ≠ {} (lê-se: azão é um conjunto não vazio) munido de duas operações denominadas (+) e (*) é um corpo, então é válido, para quaisquer ‘a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’, ‘e’ elementos as seguintes afirmações:

1. (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade).
2. Existe um elemento denotado por ‘0’ (zero) de tal forma que:

a + 0 = 0 + a = a

3. Para todo elemento ‘a’ existe um elemento ‘d’ tal que:

a + d = d + a = 0

Esse elemento ‘d’ geralmente é denotado como ‘-a’.

4. a + b = b + a (comutatividade)
5. (a * b) * c = a * (b * c) (associatividade).
6. a * (b + c) = a * b + a * c (distributividade)
7. Existe um elemento denotado por ‘1’ (um) de tal forma que:

a * 1 = 1 * a = a

8. Para todo elemento ‘a’ existe um elemento ‘e’ tal que:

a * e = e * a = 1

Esse elemento ‘e’ geralmente é denotado como ‘a^-1’.

9. a * b = b * a (comutatividade)

 

Como eu falei, esses 9 axiomas estão contidos na definição que eu havia dado, umas vez que, para ser um anel, um conjunto dever ser capaz de obedecer os axiomas de 1 a 6 e a parte de ser “comutativo com unidade” é justamente os outros 3 axiomas. Anel comutativo pois a operação que denotada por * é comutativa. A parte do “com unidade” refere-se ao fato de os elementos de anel terem inversos multiplicativos, ou seja, elementos que, quando operados a eles por * tenham como resultado o elemento neutro da multiplicação.

 

EXEMPLOS

Muito provavelmente, quando falamos de corpos, o exemplo mais famoso seja aquilo que, comumente, nós chamamos de números, ou seja os números reais (ℝ, +, ×). Passamos todo o ensino fundamental I (ou pelo menos era assim que se chamava na minha época) para, justamente, entender o conjunto dos números reais como um corpo. Claro, em nenhum momento das definições que eu coloquei eu defini algo como a subtração ou a divisão, isso pois essas operações estão embutidas nos requisitos de comutatividade das operações + e ×.

Existem outros exemplos de corpos, embora menos conhecidos. Acho que o segundo exemplo mais conhecido é o corpo dos números complexos (ℂ, +, ×), muito pelo aspecto mitológico que os números imaginários tem na cabeça das pessoas comuns da sociedade. Aqui vale dizer que os números imaginários não tem QUASE nada de diferente, só recebem esse nome, de maneira prática, para fazer par com os números reais, que já eram conhecidos.

Agora, um exemplo que eu mesme só descobri estudando matemática é o dos números racionais, (ℚ, +, ×). Ou seja, se retirarmos os números irracionais do conjunto dos números reais, ainda conseguimos formar um corpo. Vocês podem testar os 9 axiomas para os números racionais. Contudo creio que é fácil perceber isso quando paramos para pensar, quase sempre, mesmo na escola, fazemos muito mais contas com números racionais e elas nunca tem algum tipo de “problema” ou exceção.

Eu vou terminar esse texto apenas acrescentando que o nome que damos a um elemento de um corpo é “escalar”.

É isso gente, aqui acabamos a primeira grande parte desses textos de álgebra e estruturas algébricas. Ainda, é claro, podemos explorar mais coisas. Por exemplo “Por que usamos os números reais se os racionais já formam um corpo?” ou “Existem outras estruturas algébricas?”. Posso explorar perguntas desse tipo se, um dia, eu voltar com essa série. Té mais, fiquem bem.