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Grupos de anéis em corpos (Parte 1)

por em 06/05/2022 em Ciência, Notícias | Nenhum comentário

Grupos de anéis em corpos (Parte 1)

Olá, pessoas em bolhas, vocês podem não acreditar, mas o título se refere a números. Tudo bem: não exatamente a números, mas esse é um texto de divulgação, então, por hora, vou me restringir aos números (sim, por hora).

Hoje vamos começar aquilo que eu pretendo transformar em uma sequência de textos sobre álgebra abstrata (CALMA, NÃO FOGE!). Para tanto, hoje o nosso assunto será conjuntos e alguns exemplos numéricos.

Como toda boa pessoa que gosta de matemática, sou impelida a começar com uma definição e farei, mas não será a definição de grupos. Peço a vocês que relembrem suas primeiras aulas de matemática, aquelas aulinhas sobre conjuntos e de como vocês foram apresentados aos números.

Bom, acho que a definição mais intuitiva para conjuntos é de que um conjunto é a coleção de elementos, ou seja, é um amontoado de coisas que eu decidi separar.

Por exemplo, o meu cesto de roupas sujas pode ser visto como o receptáculo do conjunto “roupas sujas” que é a coleção de todas as minhas roupas que estão sujas (se vocês vissem uma foto dele, veriam que ele é exatamente um amontoado de coisas que eu decidi separar hahaha). Outro exemplo cotidiano seria um pote de feijão (ou de arroz, macarrão ou [qualquer alimento que você separe num pote), nesse caso, temos o conjunto “pote de feijão” que contém (ou coleciona) todos os grãos de feijão que eu tenho em casa.

Figura 1: Um conjunto de potes de alimentos.

Obviamente, como pôde ser visto no primeiro exemplo que dei (o da roupa suja), um conjunto não precisa ser formado por objetos (ou elementos) “parecidos”. Meu cesto de roupas sujas contem calcinhas, blusas, shorts, calças entre outras roupas que usei, mesmo assim, todas são roupas.

Eu posso formar um conjunto de coisas (ou elementos) que não parecem ter uma relação entre si. O meu quarto, por exemplo, pode ser um conjunto e nele eu tenho móveis, como minha cama, roupas, como minhas blusas, papeis, como minhas anotações, canecas, o computador em que escrevo este texto e outras coisas.

Podemos ver que o conjunto “meu quarto” tem uma porção de coisas diferentes, mas claro, você pode argumentar que a organização, o ponto em comum, é que, assim como shorts e camisas são roupas, todas essas coisas que estão no meu quarto são minhas, e tudo bem. De fato, eu posso usar esse ponto em comum entre essas coisas para formar um conjunto, toda via, isso não é necessário. Eu posso lhe dar um conjunto formado por uma caneca, uma caneta e uma vela e isso será um conjunto, mesmo sem ter uma regra ou um ponto em comum entre essas coisas, afinal um conjunto será QUALQUER coleção de elementos (ou objetos).

Figura 2: Conjunto unitário. Seu único elemento é uma maçã. Fonte.

Eu apenas vou salientar que conjuntos não precisam ser finitos, ou seja, não precisam conter um número finito de coisas. O conjunto dos números naturais, aquele primeiro que nós aprendemos (0, 1, 2, 3, 4, e assim por diante) é um conjunto infinito, ou seja, poderíamos passar a eternidade contanto os números naturais e nunca terminaríamos de contar. Além disso, um conjunto pode ter uma colação de zero elementos, ou seja, não ter nenhum elemento dentro dele. Esse é um conjunto especial que chamamos de conjunto vazio, ele inclusive tem um símbolo próprio que pode ser visto na figura 3.

Figura 3: O conjunto Vazio. Fonte.

Agora que relembramos o que são conjuntos, podemos relembrar conjuntos numéricos.

Comecemos com os próprios números naturais. Naturalmente, os naturais são aqueles de que temos noção intuitiva na contagem, ou seja, os números que conseguimos imaginar quando estamos contanto algo. Em outras palavras, são os números que expressam a quantidade de algo. Por exemplo, o número de grãos de areia na costa do Brasil é um número muito grande, mas é um número natural, assim como o número de camisas em um guarda roupa, de ovelhas no cercado ou de feijões num pote. São todos números que podemos contar expressando uma quantidade que nos parece intuitiva (ao menos, a maioria das pessoas). Há uma discussão muito antiga e interminável se zero é um número natural ou não, eu não vou entrar nela, sejam felizes (mas que é natural é kekeke).

Figura 4: Reta que representa, geometricamente, os números inteiros. Fonte.

Sabendo os números naturais, é fácil partir para os números inteiros. Neles, adicionamos os números negativos ao conjunto dos números naturais.

Então, relembrando, os números naturais começam no 1 (ou no zero), seguem para o 2, depois para o 3 e vai indo até o infinito. Já os números inteiros vêm daquilo que chamamos de “menos infinito”, chegando no -3 (menos três), indo para o -2 (menos dois), então para o -1 e finalmente para o 0, que vai para o 1, e então para o dois e vai indo até o “mais infinito” (ou só “infinito”, como falamos anteriormente).

Por essa semelhança, os números inteiros como um todo herdam algumas propriedades dos números naturais, por exemplo, podemos classificar números inteiros em impares, aqueles que quando divididos por dois têm resto, e pares aqueles que quando divididos por 2 têm resto igual a zero, mesmo os negativos, seguindo as mesmas regras, por conta disso -2 é um número par, assim como o -1000 ou o 4.

Assim como os números naturais nascem da necessidade da contagem, os números inteiros nascem da necessidade de diferir o que se conta. É um contexto extremamente ligado ao comércio e tendo isso em vista é fácil ver quão importante pode ser definir números que simbolizariam quantidades positivas (ou lucros) e números que simbolizariam quantidades negativas (prejuízo). Ideias assim ajudaram a trabalhar não somente a relação lucro-prejuízo mas a própria ideia de crédito e ideias de passado e futuro.

Uma curiosidade é que o conjunto dos números inteiros é tipicamente representado pela letra Z, que supostamente viria da palavra alemã Zahlen que supostamente deveria significar números. Digo “supostamente” pois pondo a palavra no google translate não é isso que eu encontro, embora essa informação esteja em muitos sites. Zahlen é traduzida como “contar” ou “pagar” o que ainda traz o contexto de comércio, mas não sou versada no alemão para dizer de fato se a informação tão propagada pelos sites é verdadeira.

Por hoje é isso, pessoal. Espero ter sido clara e que os exemplos tenham realmente ajudado. Como falei, pretendo fazer uma série sobre álgebra aqui, então esse é só o primeiro texto. Nos próximos iremos falar de outros conjuntos de números para, finalmente, abordarmos que relações podem ser construídas entre os elementos no interior de seus conjuntos.

Por fim, só mais um adendo: eu avisei sobre a treta do zero ser natural ou não (embora todos saibamos que ele é hahahah), mas existe mais uma treta ou discussão que eu não abordei: a definição de número. Existe uma discussão em torno de como definir um número propriamente, mas eu definitivamente não me sinto relevante ou capaz de trazê-la aqui. Por causa disso, vou apelar para o senso de vocês de que um número é algo como 398, um valor que pode ser escrito por algarismos, quando for diferente ou, se fugir desse contexto (e deixo avisado, fugirá), eu avisarei e tentarei me fazer clara. Se alguém da matemática quiser falar um pouco sobre, eu amarei ler nos comentários. Fiquem bem.

 

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