O Scicast da semana passada explicou os números irracionais. Hoje eu coloco parte da explicação no papel. Espero, assim, ajudar na visualização e compreensão desses ‘loucos’. A história dos números irracionais tem início na Grécia Antiga, onde Pitágoras e seus seguidores estudaram os números, geometria, filosofia, música e astronomia na Escola Pitagórica.
Segundo a doutrina dos pitagóricos, todas as coisas na natureza são constituídas por números e os fenômenos observados podem ser explicados pelos números inteiros (ou frações de números inteiros) chamados números naturais.
No século 5 A.C., Hipaso de Metaponto, um dos discípulos de Pitágoras, mostrou que nem todos os números podem ser expressos por uma razão de números inteiros, ironicamente, como consequência de uma aplicação específica do Teorema de Pitágoras.
Utilizando o Teorema de Pitágoras, a²+b²=c², pode-se mostrar que um quadrado de lado igual a 1 possui diagonal igual a raiz de 2.
Através de uma prova por contradição, Hipaso de mostrou que a raiz de 2 não pode ser descrita como fração de dois números inteiros.
Essa prova pode ser generalizada, mostrando que a raiz quadrada de qualquer número que não seja um quadrado perfeito é irracional.
Por revelar essa blasfêmia, segundo a lenda, Hipaso foi condenado à morte por afogamento pelo próprio Pitágoras. No entanto, alguns documentos da época dizem que Hipaso foi expulso da Escola Pitagórica, outros dizem que ele morreu em um naufrágio ou ainda que um grupo de pitagóricos o matou afogado.
Teodoro de Cirene, outro pitagórico, expandiu a prova de Hipaso e mostrou que as raízes quadradas de 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 e 17 também são números irracionais.
De fato, as raízes quadradas de números inteiros são sempre irracionais, exceto as de quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, 25, etc).
Em 1737, Euler calcula que a constante matemática e pode ser escrita como uma fração infinita, mostrando que e é um número irracional.
Como todo número racional pode ser escrito como uma fração finita, e deve ser um número irracional.
Fourier também apresentou uma prova da irracionalidade de e mostrando que para que e pudesse ser escrito como uma fração de números inteiros, deveria existir um número inteiro entre 0 e 1.
No século 18, Johann Heinrich Lambert provou que π também é um número irracional, utilizando uma fração contínua da função tan(x).
Para valores de x diferentes de zero e racionais, o valor dessa expressão é irracional. Como tan(π/4) é igual a 1, π/4 deve ser irracional.
O conjunto de números irracionais, ao contrário dos racionais, é tão grande que não pode ser contado. Existem mais números irracionais do que números racionais, mesmo que sendo ambos os conjuntos, infinitos.
Você pode fazer uma lista infinita que contém todos os números racionais, mas um lista de números irracionais sempre será incompleta, mesmo que você escreva por um tempo infinito.
Da mesma forma que a raiz quadrada de 2, a raiz quadrada de -1 também foi inicialmente rejeitada pelos matemáticos, sendo considerada sem sentido, um absurdo.
Raízes quadradas de números negativos foram inicialmente utilizadas em equações para encontrar soluções de polinômios cúbicos, mas “desapareciam” da resposta após algumas simplificações.
Esses números receberam o nome de imaginários, por não fazerem parte dos números reais.
O nome imaginário passa uma ideia errada sobre esses números, que são tão reais quanto os números reais e têm diversas aplicações em mecânica quântica, dinâmica de fluidos e relatividade.
Referências
Para Explicar o Mundo: A Descoberta da Ciência Moderna. Steven Weinberg, 2015.
Wikipédia – Proof that e is irrational
